Material de estudio — Matemática 7.° año (Santillana, Costa Rica)
Documento teórico con ejemplos resueltos paso a paso.
Para empezar: el emoji favorito
Sandra encuestó a sus compañeros sobre su emoji preferido y obtuvo 30 respuestas. ¿Cuál es el emoji favorito y qué porcentaje de estudiantes votó por él?
| Emoji | Cantidad de votos |
|---|---|
| 🤣 Risa | 12 |
| 😘 Beso | 5 |
| 😜 Guiño con lengua | 6 |
| 😎 Lentes de sol | 7 |
| Total | 30 |
Ojo con el total: el total no se cuenta aparte. Se obtiene sumando los votos de los cuatro emojis, y representa la cantidad de personas encuestadas: 12 + 5 + 6 + 7 = 30.
Solución: el emoji con más votos es la risa 🤣, con 12 votos de 30.
Respuesta: el emoji favorito es la risa 🤣, con 12 votos, que representan el 40 % de los encuestados.
Frecuencia absoluta y frecuencia porcentual
- Frecuencia absoluta (fa): es la cantidad de veces que aparece un determinado valor de la variable en el estudio.
- Frecuencia porcentual (fp): es el cociente entre la frecuencia absoluta y el total de datos, multiplicado por 100.
donde n = total de datos
En palabras: la frecuencia absoluta cuenta; la frecuencia porcentual compara esa cuenta contra el total y la expresa de 0 a 100.
MateTrucos: para resolver algo como (3 ÷ 4) · 100, multiplicá primero el numerador por 100 y después dividí entre el denominador: 3 · 100 = 300, y 300 ÷ 4 = 75. Así trabajás siempre con números enteros.
Ejemplo resuelto — Horas de uso del computador
Enunciado: hallar la frecuencia absoluta y la porcentual de la cantidad de horas más común y menos común que 30 estudiantes dedican al computador en casa. Los datos recolectados son:
7 4 4 5 5 6 7 5 5 6 7 6 7 6 7
Marcados los 6, que aparecen 9 veces.
Solución: se cuenta cuántas veces aparece cada valor, marcando los números uno a uno para no omitir ninguno.
| Horas de uso | fa | fp |
|---|---|---|
| 3 | 3 | 10 % |
| 4 | 4 | 13,33 % |
| 5 | 6 | 20 % |
| 6 | 9 | 30 % |
| 7 | 8 | 26,67 % |
| Total | 30 | 100 % |
Las mismas frecuencias, vistas como barras
La barra más larga es el valor más común; la más corta, el menos común.
- El número de horas más común es 6 horas, porque aparece 9 veces.
- El número de horas menos común es 3 horas, porque aparece 3 veces.
- El total de datos es 30, es decir n = 30.
3 horas → (3 ÷ 30) · 100 = 300 ÷ 30 = 10 %
Respuesta: la frecuencia absoluta de 6 horas es 9 (30 %) y la de 3 horas es 3 (10 %).
Comprobación: la suma de las frecuencias absolutas debe dar el total de datos: 3 + 4 + 6 + 9 + 8 = 30 ✓
La tabla de frecuencias
Las tablas de frecuencias —también llamadas tablas de distribución de frecuencias— sirven para organizar los datos recolectados en una investigación.
Sus partes
| Estudiantes de un colegio, según el nivel que cursan | ||
|---|---|---|
| Nivel | fa | fp |
| Sétimo | 104 | 40 % |
| Octavo | 94 | 36 % |
| Noveno | 62 | 24 % |
| Total | 260 | 100 % |
- El título da la información necesaria para entender qué datos son y de dónde se obtuvieron.
- La primera columna incluye la variable y los valores que toma.
- Las otras dos columnas son las frecuencias absolutas y porcentuales de cada valor.
- La suma de las fa es igual al total de datos (n = 260).
- La suma de las fp es igual al 100 %.
Conclusiones que se sacan de esa tabla
- El 36 % de los estudiantes está en octavo.
- Hay 32 estudiantes más en octavo que en noveno, porque 94 − 62 = 32.
Nota sobre el redondeo: en realidad (94 ÷ 260) · 100 = 36,15 % y (62 ÷ 260) · 100 = 23,85 %. La tabla los presenta redondeados a 36 % y 24 %, y así la suma da exactamente 100 %. Cuando los porcentajes no son exactos, se redondean y a veces la suma queda en 99,99 % o 100,01 %: es normal, solo hay que anotarlo.
Las tres comprobaciones de toda tabla de frecuencias
- La suma de las fa debe dar n (el total de datos).
- La suma de las fp debe dar 100 %.
- Si falta un dato, se puede obtener restando: la fa que falta es n − (suma de las demás), y la fp que falta es 100 % − (suma de las demás).
Esa tercera comprobación es la que resuelve casi todos los ejercicios en los que la tabla viene incompleta o el enunciado dice «y el resto…».
Fórmulas de ida y vuelta
| Se conoce | Se busca | Cómo |
|---|---|---|
| fa y n | fp | fp = (fa ÷ n) · 100 |
| fp y n | fa | fa = (fp ÷ 100) · n |
| fa y fp | n | n = (fa ÷ fp) · 100 |
Un caso curioso: cuando n = 100, la fa y la fp dan el mismo número, porque (fa ÷ 100) · 100 = fa. Es el único caso en que coinciden.
Problema resuelto — Tallas de calzado
Enunciado: estas son las tallas de zapatos de 20 estudiantes premiados con una visita al boliche. ¿Qué porcentaje de estudiantes necesita la talla más común?
37 36 36 38 39
39 36 37 37 38
36 38 38 39 39
Marcadas las tallas 38: hay 6. Ojo, la fila 1 tiene dos (la primera y la última).
Planteamiento: se organizan los datos en una tabla de frecuencias y se busca la mayor frecuencia absoluta.
| Talla de calzado de los mejores estudiantes de un colegio | ||
|---|---|---|
| Talla | fa | fp |
| 36 | 5 | 25 % |
| 37 | 4 | 20 % |
| 38 | 6 | 30 % |
| 39 | 5 | 25 % |
| Total | 20 | 100 % |
La mayor frecuencia absoluta es 6 y le corresponde a la talla 38:
Respuesta: el 30 % de los estudiantes requiere la talla más común, que es la 38.
MateTrucos: para no equivocarte en el conteo, tachá o marcá uno a uno los números conforme los vas contando. Es el error más frecuente de toda la lección.
Problema resuelto — Cuando el enunciado dice «y el resto»
Enunciado: en una academia hay 70 boxeadores: 15 tienen una masa de 38 kg; 22, de 39 kg; 19, de 40 kg, y el resto, de 41 kg. ¿Qué porcentaje tiene una masa de 41 kg?
Solución: la palabra clave es «el resto»: primero hay que averiguar cuántos son, restando del total.
El resto (41 kg): 70 − 56 = 14
Porcentaje: (14 ÷ 70) · 100 = 1400 ÷ 70 = 20 %
Respuesta: el 20 % de los boxeadores tiene una masa de 41 kg (son 14 boxeadores).
Problema resuelto — Cuando falta un porcentaje
Enunciado: se encuestó a los habitantes de un edificio de 20 apartamentos para saber cuántas personas viven en cada uno. ¿En cuántos apartamentos viven tres personas?
| Personas por vivienda | fp | Apartamentos |
|---|---|---|
| 1 | 5 % | 1 |
| 2 | 30 % | 6 |
| 3 | ? | ? |
| 4 | 30 % | 6 |
| Total | 100 % | 20 |
Solución: falta la fp de «3 personas». Como todas las fp deben sumar 100 %, se obtiene restando; después se convierte ese porcentaje en cantidad de apartamentos.
Apartamentos: (35 ÷ 100) · 20 = 700 ÷ 100 = 7
Respuesta: en 7 apartamentos viven tres personas.
Comprobación: 1 + 6 + 7 + 6 = 20 apartamentos ✓
¿Cuándo uso fa y cuándo fp?
- La absoluta conviene cuando importa la cantidad exacta: cuántos cuadernos comprar, cuántas sillas hacen falta, cuántas vacunas pedir.
- La porcentual conviene cuando hay que comparar grupos de distinto tamaño.
La idea grande: cuando los grupos tienen distinto tamaño, la frecuencia absoluta engaña. Mirá este caso de una elección estudiantil:
| Grado | Estudiantes (n) | Votos por Eliseo | fp |
|---|---|---|---|
| Sétimo | 80 | 32 | 40 % |
| Octavo | 100 | 38 | 38 % |
| Noveno | 50 | 21 | 42 % |
En votos, octavo es el que más lo apoya (38). Pero en porcentaje, el grado que muestra mayor preferencia por Eliseo es noveno (42 %): como noveno tiene apenas 50 estudiantes, esos 21 votos pesan más.
Por eso existe la frecuencia porcentual: para comparar justo entre grupos que no son del mismo tamaño.
Reto — Cuando el porcentaje viene con una letra
Enunciado: la tabla muestra el porcentaje de 50 estudiantes según en cuántos talleres están inscritos. ¿Cuánto vale k?
| Número de talleres | fp |
|---|---|
| 3 | 3 veces k |
| 4 | 20 % |
| 5 | la mitad de k |
| 6 | 10 % |
| Total | 100 % |
Solución: se usa la comprobación de siempre —todo debe sumar 100 %— y se razona con puros números.
Lo que falta: 100 % − 30 % = 70 %
Ese 70 % se reparte entre «3 veces k» y «la mitad de k»,
o sea entre 3 veces y media k → 3,5 veces k = 70
k = 70 ÷ 3,5 = 20
Con k = 20 la tabla queda completa:
| Talleres | fp | Estudiantes |
|---|---|---|
| 3 | 3 · 20 = 60 % | 30 |
| 4 | 20 % | 10 |
| 5 | 20 ÷ 2 = 10 % | 5 |
| 6 | 10 % | 5 |
| Total | 100 % | 50 |
Comprobación: 60 + 20 + 10 + 10 = 100 % ✓ y 30 + 10 + 5 + 5 = 50 estudiantes ✓
Resumen de la lección
| Concepto | Definición corta |
|---|---|
| Frecuencia absoluta (fa) | Cantidad de veces que aparece un valor de la variable. |
| Frecuencia porcentual (fp) | (fa ÷ n) · 100. Expresa la frecuencia de 0 a 100. |
| n | Total de datos del estudio. |
| Tabla de frecuencias | Tabla que organiza cada valor de la variable con su fa y su fp. |
¿Todavía no viste de dónde salen los datos? Repasá la recolección de información. ¿Querés ver cómo se grafican después? Mirá tablas y gráficas.