Material de estudio — Matemática 7.° año (Santillana, Costa Rica)
Documento teórico con ejemplos resueltos paso a paso.
Sucesiones
Una sucesión es un conjunto ordenado de números, llamados términos, que siguen un patrón o regla. Cada término ocupa una posición: hay un 1.º término, un 2.º término, un 3.º término, y así sucesivamente.
¿Cómo se continúa una sucesión? Primero se descubre el patrón: hay que fijarse en qué se le hace a un término para obtener el término siguiente. Cuando ya conocés el patrón, podés continuar la sucesión todo lo que quieras.
La notación con subíndices
Para nombrar los términos se usan subíndices, que indican la posición de cada uno:
| Sucesión | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | … | 2n + 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Se escribe | a₁ | a₂ | a₃ | a₄ | a₅ | … | aₙ |
| Se lee | 1.er término | 2.° término | 3.er término | 4.° término | 5.° término | … | término general |
El término general (aₙ) es la fórmula que da el término que está en la posición n, cualquiera que sea. Con ella se puede hallar el término 20 sin escribir los 19 anteriores.
Un número pegado a una letra significa multiplicación: 4n = 4 · n.
Las tres formas de representar una sucesión
| Representación | En qué consiste | Ejemplo |
|---|---|---|
| Numéricamente | Mostrando la lista de los términos. | 3, 7, 11, 15, 19, … |
| Algebraicamente | Con una expresión que describe el término general. | aₙ = 4n − 1 |
| Tabularmente | Con una tabla que relaciona la posición n con el valor del término. | n = 1 → 3 · n = 2 → 7 · n = 3 → 11 |
Importante: el patrón es la regla con la que está construida la sucesión. Para hallar el término general hay que identificar primero el patrón.
Sucesiones que se forman sumando
Ejemplo A
Observá la sucesión 3, 6, 9, 12, 15, … ¿Cuál es el patrón y cuáles son los dos términos siguientes?
Solución: Miramos qué se le hace a cada término para pasar al siguiente: de 3 a 6 se suma 3; de 6 a 9 se suma 3; de 9 a 12 se suma 3; de 12 a 15 se suma 3. El patrón es "se suma 3 al término anterior". Estos números son, además, los múltiplos de 3, así que también se puede usar una regla que depende de la posición: término = 3 · posición. Lo comprobamos en una tabla:
| Posición | Término (3 · posición) |
|---|---|
| 1 | 3 · 1 = 3 |
| 2 | 3 · 2 = 6 |
| 3 | 3 · 3 = 9 |
| 4 | 3 · 4 = 12 |
| 5 | 3 · 5 = 15 |
Para hallar los dos términos que siguen, continuamos sumando 3: después de 15 viene 15 + 3 = 18, y después 18 + 3 = 21.
Respuesta: el patrón es "se suma 3 al término anterior" (son los múltiplos de 3, con la regla término = 3 · posición); los dos términos siguientes son 18 y 21.
Sucesiones que se forman multiplicando
Ejemplo B
Observá la sucesión 2, 4, 8, 16, … ¿Cuál es el patrón y cuál es el término siguiente?
Solución: Miramos qué se le hace a cada término para pasar al siguiente: de 2 a 4 se multiplica por 2; de 4 a 8 se multiplica por 2; de 8 a 16 se multiplica por 2. El patrón es "se multiplica por 2 el término anterior". Para hallar el término siguiente, multiplicamos el último término por 2: 16 · 2 = 32.
Respuesta: el patrón es "se multiplica por 2 el término anterior"; el término siguiente es 32.
Cómo hallar el término general
Cuando la sucesión crece (o decrece) de forma constante —siempre se suma o se resta lo mismo— el término general sale con esta receta de tres pasos:
d = la diferencia entre términos consecutivos · a₁ = el primer término
- Hallá la diferencia d entre un término y el siguiente: esa es la que multiplica a n.
- Calculá d · 1 y compará ese resultado con el primer término.
- Lo que falte (o sobre) es lo que hay que sumar o restar.
Ejemplo — La sucesión 3, 7, 11, 15, 19, …
Paso 1: la sucesión aumenta de 4 en 4, así que la expresión lleva 4n.
Paso 2: con n = 1, 4n da 4. Pero el primer término es 3, o sea 1 menos.
Paso 3 — comprobar siempre:
| n | 4n − 1 | Resultado | ¿Coincide? |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 · 1 − 1 = 4 − 1 | 3 | ✓ |
| 2 | 4 · 2 − 1 = 8 − 1 | 7 | ✓ |
| 3 | 4 · 3 − 1 = 12 − 1 | 11 | ✓ |
| 4 | 4 · 4 − 1 = 16 − 1 | 15 | ✓ |
Ya con la fórmula se puede hallar cualquier término. El vigésimo:
Problema resuelto — El refugio para mascotas
Enunciado: en la primera semana el refugio recibió 5 mascotas, y cada semana siguiente recibió 3 más que la anterior. ¿Cuántas recibió en la octava semana?
Solución: la diferencia es 3, así que la expresión lleva 3n. Con n = 1, 3n da 3, pero la primera semana fueron 5: faltan 2.
a₈ = 3 · 8 + 2 = 24 + 2 = 26
Respuesta: en la octava semana recibieron 26 mascotas.
| Semana | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Mascotas | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 | 20 | 23 | 26 |
Ojo con el orden de los símbolos: 14n − 8 y 14 − 8n usan los mismos números pero son sucesiones distintas. En la primera la n multiplica al 14 y la sucesión crece (6, 20, 34…); en la segunda multiplica al 8 y la sucesión decrece (6, −2, −10…).
Proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número. En la proporcionalidad directa, el cociente entre las dos magnitudes (el resultado de dividir una entre la otra) es siempre el mismo: es constante. Esa constante se llama constante de proporcionalidad.
Ejemplo
Un cuaderno cuesta ₡500. ¿Cuánto cuestan 2, 3 o 4 cuadernos iguales? ¿Son directamente proporcionales la cantidad de cuadernos y el precio total?
Solución: Como cada cuaderno vale ₡500, armamos la tabla de la cantidad de cuadernos y su precio total, y en la última columna dividimos el precio entre la cantidad:
| Cantidad de cuadernos | Precio total | Precio ÷ cantidad |
|---|---|---|
| 1 | ₡500 | ₡500 ÷ 1 = 500 |
| 2 | ₡1000 | ₡1000 ÷ 2 = 500 |
| 3 | ₡1500 | ₡1500 ÷ 3 = 500 |
| 4 | ₡2000 | ₡2000 ÷ 4 = 500 |
En la última columna se ve que el cociente precio ÷ cantidad siempre da 500: ₡500 ÷ 1 = 500; ₡1000 ÷ 2 = 500; ₡1500 ÷ 3 = 500. Ese 500 es la constante de proporcionalidad. Además, al comprar el doble de cuadernos se paga el doble: las dos magnitudes van en la misma dirección (si una sube, la otra sube).
Respuesta: sí son directamente proporcionales; el cociente precio ÷ cantidad es constante e igual a 500. Si una magnitud aumenta, la otra aumenta en la misma proporción.
Cómo se escribe y cómo se ve
A esa constante se le llama k, y se obtiene dividiendo dos cantidades que se corresponden. Si x e y son las dos magnitudes:
Al llevar los pares a un plano cartesiano, los puntos quedan alineados sobre una recta que pasa por el origen (0, 0). Esa es la firma visual de la proporcionalidad directa:
y = 2x · puntos (1,2) (2,4) (3,6) (4,8)
Si los puntos no quedan en línea recta, hay un error en la tabla.
Problema resuelto — El ciclista
Enunciado: la tabla muestra las distancias que recorre un ciclista a rapidez constante. Si entrena 5 horas cada día, ¿cuántos kilómetros recorre en una semana?
| Tiempo (h) | 3 | 4 | 8 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| Distancia (km) | 69 | 92 | 184 | 161 |
Paso 1 — comprobar que sí es proporcional dividiendo cada distancia entre su tiempo:
Todas las razones dan lo mismo, así que la relación es directa con k = 23 (kilómetros por hora).
Paso 2: en una semana entrena 5 · 7 = 35 horas.
Respuesta: el ciclista recorrerá 805 km en la semana.
Para leer la constante en una gráfica basta con un solo punto bien identificado: se divide su y entre su x. Los demás puntos sirven de comprobación.
Proporcionalidad inversa
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar una de ellas por un número, la otra queda dividida por ese mismo número. En la proporcionalidad inversa, el producto de las dos magnitudes (el resultado de multiplicar una por la otra) es siempre el mismo: es constante.
Ejemplo
Hay que hacer un trabajo que equivale a 12 (por ejemplo, repartir 12 tareas iguales entre varias personas). Si trabajan más personas, ¿tardan más o menos días? ¿Son inversamente proporcionales la cantidad de personas y los días que tardan?
Solución: Repartimos las 12 tareas entre las personas para ver cuántos días tardan, y en la última columna multiplicamos las personas por los días:
| Cantidad de personas | Días que tardan | Personas · días |
|---|---|---|
| 2 | 6 | 2 · 6 = 12 |
| 4 | 3 | 4 · 3 = 12 |
| 6 | 2 | 6 · 2 = 12 |
| 12 | 1 | 12 · 1 = 12 |
En la última columna se ve que el producto personas · días siempre da 12: 2 · 6 = 12; 4 · 3 = 12; 6 · 2 = 12; 12 · 1 = 12. Además, al haber más personas se tarda menos días: las dos magnitudes van en direcciones opuestas (si una sube, la otra baja).
Respuesta: sí son inversamente proporcionales; el producto personas · días es constante e igual a 12. Si una magnitud aumenta, la otra disminuye en la misma proporción.
Cómo se escribe y cómo se ve
Acá la constante se llama a, y se obtiene multiplicando dos cantidades que se corresponden:
Al llevar los pares al plano cartesiano, los puntos forman una curva descendente que se acerca a los ejes pero nunca los toca. No es una recta:
y = 12 ÷ x · puntos (1,12) (2,6) (3,4) (4,3) (6,2) (12,1)
La curva baja rápido al principio y después se aplana, pero jamás llega a tocar los ejes.
Problema resuelto — La piscina
Enunciado: la tabla muestra cuántas horas tarda en llenarse una piscina según los litros por minuto que salen de una llave. Si salen 240 litros por minuto, ¿cuánto tardará?
| Litros por minuto | 60 | 90 | 120 | 180 |
|---|---|---|---|---|
| Tiempo (horas) | 36 | 24 | 18 | 12 |
Paso 1 — comprobar que es inversa multiplicando los valores que se corresponden:
Todos los productos dan lo mismo, así que la constante es a = 2160.
Paso 2: se divide la constante entre los 240 litros por minuto.
Respuesta: la piscina tardará 9 horas en llenarse.
En resumen
Las dos clases de proporcionalidad se distinguen fácilmente si te fijás en qué se mantiene constante y en la dirección en que cambian las magnitudes:
| Proporcionalidad directa | Proporcionalidad inversa | |
|---|---|---|
| ¿Qué es constante? | el cociente (÷) | el producto (·) |
| Fórmula | (una magnitud) ÷ (la otra) = constante | (una magnitud) · (la otra) = constante |
| Dirección | misma dirección: una sube, la otra sube | direcciones opuestas: una sube, la otra baja |
| Ejemplo de este apunte | cuadernos y precio (constante 500) | personas y días (constante 12) |
- Directa → el cociente es constante; las magnitudes van en la misma dirección (una sube, la otra sube).
- Inversa → el producto es constante; las magnitudes van en direcciones opuestas (una sube, la otra baja).
| Directa | Inversa | |
|---|---|---|
| Constante | k = y ÷ x | a = x · y |
| Fórmula | y = k · x | y = a ÷ x |
| Gráfica | una recta que pasa por el origen | una curva que nunca toca los ejes |
| Ejemplo típico | litros de gasolina y precio | trabajadores en una obra y días que tardan |
La prueba de una línea: dividí los pares y mirá si sale siempre lo mismo → es directa. Si no, multiplicalos y mirá si sale siempre lo mismo → es inversa. Si no se cumple ninguna de las dos, no hay proporcionalidad.
Errores frecuentes
- Pensar sumando en vez de multiplicando. Si una foto de 12 cm de ancho pasa a 72 cm, el ancho se multiplicó por 6 (72 ÷ 12), así que al largo también hay que multiplicarlo por 6. Sumarle los 60 cm de diferencia deforma la foto.
- Suponer que toda relación es proporcional. Más personas en un almuerzo no significa proporcionalmente más tiempo de preparación: buena parte del trabajo se hace una sola vez. Siempre hay que comprobar con los cocientes o los productos.
- Confundir la constante k (directa, un cociente) con la constante a (inversa, un producto).
- En una sucesión, dar el patrón («de 4 en 4») pero no el término general (4n − 1), o al revés.
- Olvidar comprobar el término general reemplazando n = 1, n = 2 y n = 3.
¿Querés repasar cómo se organizan y grafican los datos? Mirá tablas y gráficas.