Material de estudio — Matemática 7.° año (Santillana, Costa Rica)
Documento teórico con ejemplos resueltos paso a paso.
¿Para qué sirven estas medidas?
Estas medidas nos ayudan a resumir y describir un conjunto de datos con pocos números. En lugar de mirar todos los datos uno por uno, con unos pocos valores podemos entender cómo se comporta el grupo entero.
| Medida | Símbolo | Qué mide | Cómo se calcula |
|---|---|---|---|
| Moda | M₀ | El dato más frecuente | Se cuenta cuál valor se repite más |
| Media aritmética | x̄ | El valor típico o promedio | Suma de los datos ÷ cantidad de datos |
| Mínimo | — | El valor más bajo | Se ordenan los datos y se toma el primero |
| Máximo | — | El valor más alto | Se ordenan los datos y se toma el último |
| Recorrido | — | La dispersión de los datos | Máximo − Mínimo |
Para empezar: los sismos en Costa Rica
Costa Rica tiene alta actividad sísmica por estar entre la placa de Cocos y la placa del Caribe. El OVSICORI publica cada mes los temblores reportados, y esos datos sirven para evaluar riesgos y prepararse ante emergencias.
| Mes | Ene | Feb | Mar | Abr | May | Jun | Jul |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sismos percibidos | 12 | 7 | 17 | 9 | 6 | 7 | 12 |
Fuente: OVSICORI, sismicidad mensual, primeros siete meses de 2025.
¿Cuál es el promedio mensual de sismos percibidos? Se resuelve en dos pasos:
Paso 2 — Divido entre el total de datos: 70 ÷ 7 = 10
Respuesta: el promedio mensual es de 10 sismos percibidos.
Con la misma tabla se pueden sacar las otras medidas: el máximo es 17 (marzo), el mínimo es 6 (mayo), el recorrido es 17 − 6 = 11 y la moda es bimodal: 12 y 7, porque los dos aparecen dos veces.
1. Moda
La moda (M₀) es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia absoluta. Dicho simple: es el dato que más veces se repite.
Los tres casos posibles
| Grupo de datos | Moda | ¿Por qué? |
|---|---|---|
| 12, 11, 14, 13, 15 | No existe | Ningún dato se repite; todos aparecen una sola vez. |
| 14, 14, 13, 13, 12, 14, 13 | 13 y 14 | El 14 aparece 3 veces y el 13 también 3 veces: hay empate. |
| 13, 14, 13, 14, 12, 14 | 14 | El 14 aparece 3 veces; el 13, solo 2. |
Vocabulario: si un conjunto tiene dos datos con la misma frecuencia más alta, se dice que es bimodal. Si tiene varios, se dice que es polimodal.
Ojo: con una lista de datos hay que contar cada uno para saber cuál se repite más. No basta con mirar por encima, porque puede haber más de un empate escondido.
Cómo reconocer la moda según la representación
| Si los datos vienen en… | La moda es… |
|---|---|
| Un cuadro de frecuencias | El valor con la mayor frecuencia absoluta. |
| Una gráfica de barras o de líneas | La barra más alta o el punto más alto. |
| Una gráfica circular | El sector más grande. |
Ejemplo A — Videoconsola preferida
| Videoconsola preferida por un grupo de jóvenes | fa |
|---|---|
| PlayStation | 6 |
| Nintendo Switch | 4 |
| Xbox | 2 |
| Wii | 3 |
| Total | 15 |
Solución: el valor con mayor frecuencia absoluta es PlayStation (6). Respuesta: M₀ = PlayStation.
Ejemplo B — Elección del representante estudiantil
Votos por candidato
Solución: la barra más alta corresponde a Ana, con 16 votos. Respuesta: la moda es Ana, y significa que Ana ganó la elección.
Error frecuente: la moda es el valor de la variable, no su frecuencia. Acá la moda es Ana, no 16.
2. Media aritmética
La media aritmética, también llamada promedio, se escribe x̄. Para calcularla hay dos casos, y confundirlos es el error más común de la lección.
Caso 1 — Datos individuales (una lista de valores)
Se suman todos los valores y el resultado se divide entre la cantidad de datos.
Ejemplo — Días de lluvia al año
| Año | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 | 2024 | 2025 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Días de lluvia | 202 | 212 | 206 | 255 | 252 | 227 | 193 | 214 |
x̄ = 1761 ÷ 8 = 220,125 ≈ 220 días
MateTrucos: aunque los datos vengan en una tabla, acá se usa el método de datos individuales, porque cada valor aparece una sola vez, sin frecuencia asociada: a cada año le corresponde un único dato.
Caso 2 — Datos con frecuencia (tabla o gráfica de barras)
Se multiplica cada dato por su frecuencia, se suman todos los productos y el resultado se divide entre el total de datos.
Ejemplo — Notas del examen de Matemática
| Nota | 55 | 70 | 85 | 95 |
|---|---|---|---|---|
| N.° de estudiantes | 2 | 1 | 7 | 6 |
55 · 2 + 70 · 1 + 85 · 7 + 95 · 6 = 110 + 70 + 595 + 570 = 1345
Paso 2 — Se divide entre el total de datos (2 + 1 + 7 + 6 = 16):
1345 ÷ 16 ≈ 84,06
Respuesta: la media es aproximadamente 84,06.
Los dos errores que hay que evitar acá: olvidar multiplicar cada nota por su frecuencia, y dividir entre la cantidad de filas (4) en vez de entre el total de datos (16).
Sobre el redondeo: cuando la división no es exacta se redondea, y el símbolo ≈ indica que el valor es una aproximación. Por ejemplo, 220,125 redondeado a la unidad queda 220; y 84,0625 redondeado a las centésimas queda 84,06.
Dos propiedades útiles de la media
| Si a cada dato… | …entonces la media | Ejemplo |
|---|---|---|
| se le suma una cantidad | aumenta esa misma cantidad | 9, 14, 7, 12, 13 → x̄ = 11. Sumando 3 a cada uno: x̄ = 14. |
| se le multiplica por un número | queda multiplicada por ese número | 3, 4, 7, 8 → x̄ = 5,5. Multiplicando por 3: x̄ = 16,5. |
Comprobación que salva exámenes: la media siempre queda entre el mínimo y el máximo del conjunto. Nunca puede ser mayor que el máximo ni menor que el mínimo. Si te da fuera de ese rango, hay un error.
Cómo se mueve la media
- Si se agrega un dato mayor que la media, esta sube; si es menor, baja; si es igual, no cambia.
- Si se quita un dato menor que la media, esta sube; si se quita uno mayor, baja.
- Para que no se mueva al quitar dos datos, esos dos tienen que promediar lo mismo que la media.
Recuperar la suma a partir del promedio
Como x̄ = suma ÷ n, dando vuelta la operación se obtiene la suma aunque no se conozcan los datos uno por uno:
Ejemplo: cinco amigos tienen una edad promedio de 13,4 años. Si se une un sexto amigo de 14 años, ¿cuál es la nueva edad promedio?
Con el sexto amigo: 67 + 14 = 81
Nueva media: 81 ÷ 6 = 13,5 años
Comprobación con sentido común: el nuevo amigo (14) es mayor que el promedio anterior (13,4), así que el promedio tenía que subir un poco. Pasó de 13,4 a 13,5 ✓
3. Mínimo, máximo y recorrido
- El valor mínimo es el menor valor que toma la variable.
- El valor máximo es el mayor valor que toma la variable.
- El recorrido, también llamado rango, se obtiene restando el mínimo al máximo.
Para qué sirve: el recorrido mide la dispersión de los datos. Cuanto menor es el recorrido, más consistentes o regulares son los datos.
Si el máximo y el mínimo son iguales, el recorrido es 0: eso significa que todos los datos son idénticos, el conjunto más constante posible.
Problema resuelto — ¿Quién fue más constante nadando?
La tabla muestra los minutos que Carlos y Julián dedicaron a la natación de lunes a viernes.
| Lun | Mar | Mié | Jue | Vie | |
|---|---|---|---|---|---|
| Carlos | 75 | 92 | 74 | 80 | 79 |
| Julián | 47 | 70 | 89 | 71 | 69 |
Planteamiento: se ordenan los tiempos de cada uno de menor a mayor para ver el mínimo y el máximo.
Julián: 47 69 70 71 89 → recorrido = 89 − 47 = 42
Como 42 > 18, los tiempos de Julián están más dispersos.
Respuesta: Carlos fue el más constante en su práctica durante la semana.
Fijate en el detalle: el recorrido solo depende del máximo y del mínimo. Dos conjuntos con el mismo recorrido pueden estar repartidos por dentro de formas completamente distintas. Es una medida sencilla, pero limitada.
Ejemplos con las cinco medidas juntas
Ejemplo 1
Se anotaron las edades de 7 niños: 12, 11, 13, 12, 12, 10 y 14. Hallá la moda, la media, el mínimo, el máximo y el recorrido.
Solución: conviene ordenar los datos de menor a mayor: 10, 11, 12, 12, 12, 13, 14. Después contamos cuántas veces aparece cada uno.
| Dato (edad) | Veces que aparece |
|---|---|
| 10 | 1 |
| 11 | 1 |
| 12 | 3 |
| 13 | 1 |
| 14 | 1 |
- Moda: el dato que más se repite es el 12, que aparece 3 veces → M₀ = 12.
- Media: sumamos todos los datos y dividimos entre 7 (hay 7 datos).
media = 84 ÷ 7 = 12
- Mínimo: el dato menor es 10.
- Máximo: el dato mayor es 14.
- Recorrido: se resta el mínimo al máximo.
Respuesta: moda = 12; media = 12; mínimo = 10; máximo = 14; recorrido = 4.
Ejemplo 2
Se preguntó a 5 estudiantes por su cantidad de hermanos y se obtuvo: 1, 2, 2, 3 y 5. Hallá las cinco medidas.
Solución: los datos ya están ordenados de menor a mayor: 1, 2, 2, 3, 5.
| Dato (hermanos) | Veces que aparece |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 1 |
| 5 | 1 |
- Moda: el dato que más se repite es el 2, que aparece 2 veces → M₀ = 2.
- Media: sumamos todos los datos y dividimos entre 5.
media = 13 ÷ 5 = 2,6
Acá la media da un número decimal: se escribe 2,6, con coma decimal.
- Mínimo: 1 · Máximo: 5 · Recorrido: 5 − 1 = 4.
Respuesta: moda = 2; media = 2,6; mínimo = 1; máximo = 5; recorrido = 4.
El ejemplo que lo explica todo: Sonia o Aida
Un entrenador debe elegir entre dos jugadoras para el próximo partido, y quiere a la que haya sido más constante durante la semana.
| Jugadora | Puntos en los 7 partidos | Promedio | Recorrido |
|---|---|---|---|
| Sonia | 21 · 24 · 21 · 20 · 26 · 25 · 24 | 23 | 6 |
| Aida | 15 · 18 · 23 · 28 · 26 · 25 · 26 | 23 | 13 |
Aida: 161 ÷ 7 = 23 · recorrido = 28 − 15 = 13
Las dos tienen exactamente la misma media, así que el promedio no permite decidir. Lo que las diferencia es el recorrido: Sonia siempre anota entre 20 y 26; Aida puede anotar 15 en un partido y 28 en otro.
Respuesta: el entrenador debería elegir a Sonia, porque su recorrido es menos de la mitad del de Aida.
La idea grande de la lección: el promedio solo no alcanza para describir un conjunto de datos. Hacen falta las dos medidas juntas: la media dice cuánto, y el recorrido dice qué tan parejo.
¿Cuándo conviene cada medida?
- La moda sirve para variables cualitativas (color favorito, marca preferida) y para decidir qué producir o comprar más. Una fábrica de zapatos produce más de la talla que es moda: un promedio de talla 38,4 no se puede fabricar, pero la moda sí es una talla real.
- La media resume en un solo número cuánto hay en promedio, pero se deja arrastrar por los valores extremos.
- El recorrido no dice cuánto hay, sino qué tan parejos son los datos.
Errores frecuentes
- Decir que la moda es la frecuencia en vez del valor de la variable.
- Dar una sola moda cuando el conjunto es bimodal o polimodal: siempre hay que revisar si hay empates.
- Decir «no hay moda» cuando en realidad hay varias.
- Al calcular la media con una tabla de frecuencias, olvidar multiplicar cada dato por su frecuencia.
- Al calcular la media con una tabla, dividir entre la cantidad de filas en vez de entre el total de datos.
- Restar al revés en el recorrido: siempre es máximo − mínimo, nunca al revés.
¿Necesitás repasar de dónde salen las frecuencias? Mirá frecuencias y tablas de frecuencias.