📐 Radicación de números enteros

Concepto

La radicación es la operación inversa de la potenciación.

Si a y b son números enteros y n es natural con n > 1:

Es decir, sacar la raíz n-ésima de a es buscar el número b que, elevado al índice n, da como resultado a.

Partes de la expresión

La expresión ⁿ√a = b se lee: «raíz n-ésima de a es igual a b».

Cuando el índice es 2 no se escribe, y se lee «raíz cuadrada»: √a = ²√a.

El símbolo radical sin signo delante denota siempre la raíz principal (la positiva) cuando el radicando y el índice son positivos. La raíz negativa, cuando existe, se indica aparte con el signo menos.

Raíz de cero: ⁿ√0 = 0 para todo índice n > 1, porque 0ⁿ = 0.

Los 4 Casos

La cantidad de raíces y su signo dependen del signo del subradical y de la paridad del índice.

Caso 1 — Subradical positivo, índice par

Tiene dos raíces: una positiva y una negativa. La positiva se llama raíz principal.

Ejemplo:

Solución: se busca el número b tal que b⁴ = 81.

• Raíz principal (positiva): 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 9 · 9 = 81. ✓
• Segunda raíz (negativa): (−3)⁴ = ((−3)²)² = 9² = 81. ✓ Al ser el índice par, la base negativa también da resultado positivo.

Como el subradical (81) es positivo y el índice (4) es par, hay dos raíces.

Respuesta: ⁴√81 = 3 (raíz principal) y ⁴√81 = −3 (segunda raíz).

Caso 2 — Subradical positivo, índice impar

Tiene una sola raíz positiva.

Ejemplo:

Solución: se busca el número b tal que b³ = 125.

• Probar b = 5: 5³ = 5 · 5 · 5 = 25 · 5 = 125. ✓

Subradical positivo (125) e índice impar (3): una única raíz, positiva.

Respuesta: ³√125 = 5

Caso 3 — Subradical negativo, índice impar

La raíz es un entero negativo.

Ejemplo:

Solución: con índice impar, ⁵√(−1024) = −⁵√1024. Se busca b tal que b⁵ = −1024.

• Probar b = −4: (−4)⁵ = −(4⁵).
• 4⁵ = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 1 024, así que (−4)⁵ = −1 024. ✓

Subradical negativo e índice impar (5): una única raíz, negativa.

Respuesta: ⁵√−1024 = −4

Caso 4 — Subradical negativo, índice par

La raíz no existe en el conjunto de los números enteros.

Ejemplo:

Solución: se buscaría un entero b tal que b² = −4, pero todo número entero elevado al cuadrado da un resultado positivo (o cero). Por eso ningún entero cumple b² = −4.

Subradical negativo (−4) e índice par (2): no hay raíz.

Respuesta: No existe en los números enteros (tampoco en los números reales).

Propiedades de la Radicación

Si a, b son números enteros y n, m son naturales mayores que 1:

1. Raíz de un producto

Ejemplo: ³√(64 · (−8))

Solución: se reparte la raíz a cada factor.

• ³√(64 · (−8)) = ³√64 · ³√(−8)
• ³√64 = 4, porque 4³ = 64.
• ³√(−8) = −2, porque (−2)³ = −8.
• Producto: 4 · (−2) = −8.
• Comprobación directa: 64 · (−8) = −512 y ³√(−512) = −8, porque (−8)³ = −512. ✓

Respuesta: ³√(64 · (−8)) = ³√64 · ³√(−8) = 4 · (−2) = −8

2. Raíz de un cociente

Ejemplo: ³√(64 ÷ (−8))

Solución: se reparte la raíz al dividendo y al divisor.

• ³√(64 ÷ (−8)) = ³√64 ÷ ³√(−8)
• ³√64 = 4 y ³√(−8) = −2.
• Cociente: 4 ÷ (−2) = −2.
• Comprobación directa: 64 ÷ (−8) = −8 y ³√(−8) = −2, porque (−2)³ = −8. ✓

Respuesta: ³√(64 ÷ (−8)) = ³√64 ÷ ³√(−8) = 4 ÷ (−2) = −2

3. Raíz de una potencia

Ejemplo: √(3⁶)

Solución: se divide el exponente del radicando entre el índice.

• √(3⁶) = 3^(6÷2) = 3³ = 27.
• Comprobación directa: 3⁶ = 729 y √729 = 27, porque 27² = 729. ✓

Nota de notación: el exponente es 6÷2 = 3, es decir 3^(6/2). No se trata de (3⁶)÷2.

Respuesta: √(3⁶) = 3^(6÷2) = 3³ = 27

4. Raíz de una raíz

Ejemplo: √(³√64)

Solución: se multiplican los índices.

• √(³√64) = ⁽²·³⁾√64 = ⁶√64.
• ⁶√64 = 2, porque 2⁶ = 64.
• Comprobación paso a paso: ³√64 = 4 (porque 4³ = 64) y luego √4 = 2. ✓

Respuesta: √(³√64) = ⁶√64 = 2

5. Raíz con índice y exponente del subradical iguales

Ejemplo 5a (índice par): √((−10)²)

Solución: con índice par se aplica el valor absoluto.

• √((−10)²) = |−10| = 10.
• Comprobación directa: (−10)² = 100 y √100 = 10. ✓
• El resultado es 10 (no −10), porque la raíz cuadrada principal es siempre no negativa. Por eso se usa el valor absoluto.

Respuesta: √((−10)²) = |−10| = 10

Ejemplo 5b (índice impar): ³√((−7)³)

Solución: con índice impar no se usa valor absoluto; la raíz conserva el signo.

• ³√((−7)³) = −7.
• Comprobación directa: (−7)³ = −343 y ³√(−343) = −7, porque (−7)³ = −343. ✓

Respuesta: ³√((−7)³) = −7

Compará 5a con 5b: con índice par el resultado es siempre no negativo (de ahí el valor absoluto); con índice impar se mantiene el signo del subradical.

Método: Factorización Prima

Cuando el radicando es grande y no se reconoce su raíz a simple vista, se descompone en factores primos y luego se aplican las propiedades de la radicación.

Ejemplo 1: ³√(−216)

Solución: con índice impar, ³√(−216) = −³√216. Como 216 = 2³ · 3³:

³√(2³ · 3³) = ³√(2³) · ³√(3³) = 2 · 3 = 6.

Respuesta: ³√(−216) = −6 (comprobación: (−6)³ = −216)

Ejemplo 2: ³√1728

Solución: ³√1728 = ³√(2⁶ · 3³) = ³√(2⁶) · ³√(3³) = 2² · 3 = 4 · 3 = 12.

Respuesta: ³√1728 = 12 (comprobación: 12³ = 1 728)

Cuadrados y cubos perfectos

Un número entero es un cuadrado perfecto si su raíz cuadrada es un número entero.

Ejemplo: 121 es cuadrado perfecto, porque √121 = 11.

Un número entero es un cubo perfecto si su raíz cúbica es un número entero.

Ejemplo: −125 es cubo perfecto, porque ³√(−125) = −5.

Problema Resuelto

Enunciado: En una reunión de profesores se utilizaron 25 sillas, organizadas en igual número de filas y de columnas. ¿Cuántas sillas hay en cada fila?

Datos:

• Cantidad de sillas: 25
• Distribución: misma cantidad de filas y de columnas (forma cuadrada)

Solución: si hay n filas y n columnas, el total de sillas es n · n = n². Entonces se plantea:

• √25 = 5, porque 5² = 25.
• Se toma solo la raíz positiva, ya que no tiene sentido una cantidad negativa de sillas.

Respuesta: En cada fila hay 5 sillas.

Nota: no se considera la raíz negativa, ya que no tendría sentido tener una cantidad negativa de sillas.