📐 Radicación de números enteros

Concepto

La radicación es la operación inversa de la potenciación.

Si a y b son números enteros y n es natural con n > 1:

Es decir, sacar la raíz n-ésima de a es buscar el número b que, elevado al índice n, da como resultado a.

Partes de la expresión

La expresión ⁿ√a = b se lee: «raíz n-ésima de a es igual a b».

Cuando el índice es 2 no se escribe, y se lee «raíz cuadrada»: √a = ²√a.

El símbolo radical sin signo delante denota siempre la raíz principal (la no negativa) cuando el radicando es positivo. La raíz negativa, cuando existe (índice par), se indica aparte con el signo menos: −⁴√81 = −3.

Raíz de cero: ⁿ√0 = 0 para todo índice n > 1, porque 0ⁿ = 0.

Los 4 Casos

La cantidad de raíces y su signo dependen del signo del subradical y de la paridad del índice.

Caso 1 — Subradical positivo, índice par

Tiene dos raíces: una positiva y una negativa. La positiva se llama raíz principal y es la que representa el símbolo radical; la negativa se escribe con un signo menos delante del radical.

Ejemplo:

Solución: se busca el número b tal que b⁴ = 81.

• Raíz principal (positiva): 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 9 · 9 = 81. ✓
• Segunda raíz (negativa): (−3)⁴ = ((−3)²)² = 9² = 81. ✓ Al ser el índice par, la base negativa también da resultado positivo.

Como el subradical (81) es positivo y el índice (4) es par, hay dos raíces.

Respuesta: ⁴√81 = 3 (raíz principal) y −⁴√81 = −3 (segunda raíz).

Caso 2 — Subradical positivo, índice impar

Tiene una sola raíz positiva.

Ejemplo:

Solución: se busca el número b tal que b³ = 125.

• Probar b = 5: 5³ = 5 · 5 · 5 = 25 · 5 = 125. ✓

Subradical positivo (125) e índice impar (3): una única raíz, positiva.

Respuesta: ³√125 = 5

Caso 3 — Subradical negativo, índice impar

La raíz es un entero negativo.

Ejemplo:

Solución: con índice impar, ⁵√(−1024) = −⁵√1024. Se busca b tal que b⁵ = −1024.

• Probar b = −4: (−4)⁵ = −(4⁵).
• 4⁵ = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 1024, así que (−4)⁵ = −1024. ✓

Subradical negativo e índice impar (5): una única raíz, negativa.

Respuesta: ⁵√−1024 = −4

Caso 4 — Subradical negativo, índice par

La raíz no existe en el conjunto de los números enteros.

Ejemplo:

Solución: se buscaría un entero b tal que b² = −4, pero todo número entero elevado al cuadrado da un resultado positivo (o cero). Por eso ningún entero cumple b² = −4.

Subradical negativo (−4) e índice par (2): no hay raíz.

Respuesta: No existe en los números enteros (tampoco en los números reales).

Propiedades de la Radicación

Si a, b son números enteros y n, m son naturales mayores que 1, y siempre que las raíces que aparecen existan (índice impar, o radicandos no negativos con índice par):

1. Raíz de un producto

Ejemplo: ³√(64 · (−8))

Solución: se reparte la raíz a cada factor.

• ³√(64 · (−8)) = ³√64 · ³√(−8)
• ³√64 = 4, porque 4³ = 64.
• ³√(−8) = −2, porque (−2)³ = −8.
• Producto: 4 · (−2) = −8.
• Comprobación directa: 64 · (−8) = −512 y ³√(−512) = −8, porque (−8)³ = −512. ✓

Respuesta: ³√(64 · (−8)) = ³√64 · ³√(−8) = 4 · (−2) = −8

2. Raíz de un cociente

Ejemplo: ³√(64 ÷ (−8))

Solución: se reparte la raíz al dividendo y al divisor.

• ³√(64 ÷ (−8)) = ³√64 ÷ ³√(−8)
• ³√64 = 4 y ³√(−8) = −2.
• Cociente: 4 ÷ (−2) = −2.
• Comprobación directa: 64 ÷ (−8) = −8 y ³√(−8) = −2, porque (−2)³ = −8. ✓

Respuesta: ³√(64 ÷ (−8)) = ³√64 ÷ ³√(−8) = 4 ÷ (−2) = −2

3. Raíz de una potencia

Válida cuando m es múltiplo de n y la base a no es negativa (o el índice es impar). Si la base es negativa y el índice par, se usa la Propiedad 5: ⁿ√aⁿ = |a|.

Ejemplo: √(3⁶)

Solución: se divide el exponente del radicando entre el índice.

• √(3⁶) = 3^(6÷2) = 3³ = 27.
• Comprobación directa: 3⁶ = 729 y √729 = 27, porque 27² = 729. ✓

Nota de notación: el exponente es 6÷2 = 3, es decir 3^(6/2). No se trata de (3⁶)÷2.

Respuesta: √(3⁶) = 3^(6÷2) = 3³ = 27

4. Raíz de una raíz

Ejemplo: √(³√64)

Solución: se multiplican los índices.

• √(³√64) = ⁽²·³⁾√64 = ⁶√64.
• ⁶√64 = 2, porque 2⁶ = 64.
• Comprobación paso a paso: ³√64 = 4 (porque 4³ = 64) y luego √4 = 2. ✓

Respuesta: √(³√64) = ⁶√64 = 2

5. Raíz con índice y exponente del subradical iguales

Ejemplo 5a (índice par): √((−10)²)

Solución: con índice par se aplica el valor absoluto.

• √((−10)²) = |−10| = 10.
• Comprobación directa: (−10)² = 100 y √100 = 10. ✓
• El resultado es 10 (no −10), porque la raíz cuadrada principal es siempre no negativa. Por eso se usa el valor absoluto.

Respuesta: √((−10)²) = |−10| = 10

Ejemplo 5b (índice impar): ³√((−7)³)

Solución: con índice impar no se usa valor absoluto; la raíz conserva el signo.

• ³√((−7)³) = −7.
• Comprobación directa: (−7)³ = −343 y ³√(−343) = −7, porque (−7)³ = −343. ✓

Respuesta: ³√((−7)³) = −7

Compará 5a con 5b: con índice par el resultado es siempre no negativo (de ahí el valor absoluto); con índice impar se mantiene el signo del subradical.

Método: Factorización Prima

Cuando el radicando es grande y no se reconoce su raíz a simple vista, se descompone en factores primos y luego se aplican las propiedades de la radicación.

Ejemplo 1: ³√(−216)

Solución: con índice impar, ³√(−216) = −³√216. Como 216 = 2³ · 3³:

³√(2³ · 3³) = ³√(2³) · ³√(3³) = 2 · 3 = 6.

Respuesta: ³√(−216) = −6 (comprobación: (−6)³ = −216)

Ejemplo 2: ³√1728

Solución: ³√1728 = ³√(2⁶ · 3³) = ³√(2⁶) · ³√(3³) = 2² · 3 = 4 · 3 = 12.

Respuesta: ³√1728 = 12 (comprobación: 12³ = 1728)

Cuadrados y cubos perfectos

Un número entero es un cuadrado perfecto si su raíz cuadrada es un número entero.

Ejemplo: 121 es cuadrado perfecto, porque √121 = 11.

Un número entero es un cubo perfecto si su raíz cúbica es un número entero.

Ejemplo: −125 es cubo perfecto, porque ³√(−125) = −5.

Problema Resuelto

Enunciado: En una reunión de profesores se utilizaron 25 sillas, organizadas en igual número de filas y de columnas. ¿Cuántas sillas hay en cada fila?

Datos:

• Cantidad de sillas: 25
• Distribución: misma cantidad de filas y de columnas (forma cuadrada)

Solución: si hay n filas y n columnas, el total de sillas es n · n = n². Entonces se plantea:

• √25 = 5, porque 5² = 25.
• Se toma solo la raíz positiva, ya que no tiene sentido una cantidad negativa de sillas.

Respuesta: En cada fila hay 5 sillas.

Nota: no se considera la raíz negativa, ya que no tendría sentido tener una cantidad negativa de sillas.