Material de estudio — Matemática 7.° año (Santillana, Costa Rica)
Documento teórico con ejemplos resueltos paso a paso.
Definición
Una potenciación cuya base es un número entero y cuyo exponente es un número natural representa una multiplicación del número por sí mismo la cantidad de veces que indique el exponente.
- Base (a): el número que se multiplica por sí mismo.
- Exponente (n): cuántas veces se multiplica la base por sí misma.
- Valor de la potencia (c): el resultado: c = a · a · … · a (n veces).
Nota: La expresión
aⁿ = bse lee "a elevado a la n es igual a b", o también "b es la n-ésima potencia de a".
Indicadores de aprendizaje
- Calcula potencias cuya base sea un número entero y cuyo exponente sea un número natural.
- Simplifica expresiones utilizando las propiedades de la potenciación.
Casos de la Potenciación de Números Enteros
Caso 1 — Base positiva
Un número entero positivo elevado a cualquier exponente (par o impar) da como resultado una potencia positiva.
Ejemplo 1.a
- 4³ = 4 · 4 · 4 = 64
Solución: La base es positiva, así que el resultado es positivo sin importar el exponente. Se multiplica la base por sí misma 3 veces: 4 · 4 = 16; luego 16 · 4 = 64. Verificación inversa: ∛64 = 4.
Respuesta: 64
Ejemplo 1.b
- 3⁶ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 729
Solución: La base es positiva, así que el resultado es positivo. Se multiplica la base por sí misma 6 veces, en orden: 3 · 3 = 9; 9 · 3 = 27; 27 · 3 = 81; 81 · 3 = 243; 243 · 3 = 729. Verificación: 729 = 27² y ⁶√729 = 3.
Respuesta: 729
Caso 2 — Base negativa con exponente par
Un número entero negativo elevado a un exponente par da como resultado una potencia positiva.
Ejemplo 2
- (−3)⁴ = (−3) · (−3) · (−3) · (−3) = 81
Solución: La base es negativa y el exponente es par, por lo que el resultado es positivo. Se multiplica paso a paso, respetando la regla de signos (menos por menos da más): (−3) · (−3) = 9; 9 · (−3) = −27; (−27) · (−3) = 81. Verificación: ⁴√81 = 3 y el exponente par confirma el signo positivo.
Respuesta: 81
Caso 3 — Base negativa con exponente impar
Un número entero negativo elevado a un exponente impar da como resultado una potencia negativa.
Ejemplo 3
- (−5)³ = (−5) · (−5) · (−5) = −125
Solución: La base es negativa y el exponente es impar, por lo que el resultado es negativo. Se multiplica paso a paso: (−5) · (−5) = 25; 25 · (−5) = −125. Verificación: ∛(−125) = −5 (un índice impar admite radicando negativo).
Respuesta: −125
Propiedades de la Potenciación
Si a, b son números enteros y n, m son naturales, se cumplen las siguientes propiedades:
| Propiedad | Descripción | Simbolización | Ejemplo | Valor numérico |
|---|---|---|---|---|
| Producto de potencias de igual base | Para multiplicar potencias de igual base, se deja la misma base y se suman los exponentes. | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | (−2)³ · (−2)² = (−2)⁵ | −32 |
| Cociente de potencias de igual base | Para dividir potencias de igual base, se deja la misma base y se restan los exponentes. (Restricción: el divisor no puede ser 0 y, con exponentes naturales, debe cumplirse m ≥ n.) | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 4⁵ ÷ 4² = 4³ | 64 |
| Potencia de una potencia | Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes. | (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ | [(−2)²]³ = (−2)⁶ | 64 |
| Potencia de un producto | La potencia de un producto es el producto de las potencias de cada uno de sus factores. | (a · b)ᵐ = aᵐ · bᵐ | [2 · (−5)]² = 2² · (−5)² | 100 |
| Potencia de un cociente | La potencia de un cociente es el cociente de las potencias de cada uno de sus factores. | (a ÷ b)ᵐ = aᵐ ÷ bᵐ | (−6 ÷ 3)² = (−6)² ÷ 3² | 4 |
| Exponente 0 | Todo número entero, diferente de cero, elevado a la cero es uno. | a⁰ = 1, a ≠ 0 | 5⁰ = 1 | 1 |
| Exponente 1 | Todo número elevado a la uno da como resultado el mismo número. | a¹ = a | (−3)¹ = −3 | −3 |
A continuación se verifica cada ejemplo de la tabla.
Ejemplo — Producto de potencias de igual base
- (−2)³ · (−2)² = (−2)⁵
Solución: Por la propiedad aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, se deja la misma base y se suman los exponentes: 3 + 2 = 5, de modo que (−2)³ · (−2)² = (−2)⁵. Comprobación numérica de ambos lados: lado izquierdo (−2)³ · (−2)² = (−8) · 4 = −32; lado derecho (−2)⁵ = −32 (base negativa con exponente impar → negativo). Coinciden.
Respuesta: (−2)³ · (−2)² = (−2)⁵ = −32
Ejemplo — Cociente de potencias de igual base
- 4⁵ ÷ 4² = 4³
Solución: Por la propiedad aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, se deja la misma base y se restan los exponentes: 5 − 2 = 3, de modo que 4⁵ ÷ 4² = 4³. Comprobación numérica: 4⁵ = 1 024; 4² = 16; 1 024 ÷ 16 = 64; y 4³ = 64. Coinciden. (Recordá la restricción: el divisor no puede ser 0 y, con exponentes naturales, debe cumplirse m ≥ n para que m − n siga siendo natural.)
Respuesta: 4⁵ ÷ 4² = 4³ = 64
Ejemplo — Potencia de una potencia
- [(−2)²]³ = (−2)⁶
Solución: Por la propiedad (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ, se deja la misma base y se multiplican los exponentes: 2 · 3 = 6, de modo que [(−2)²]³ = (−2)⁶. Comprobación numérica: lado izquierdo (−2)² = 4, luego 4³ = 64; lado derecho (−2)⁶ = 64 (exponente par → positivo). Coinciden.
Respuesta: [(−2)²]³ = (−2)⁶ = 64
Ejemplo — Potencia de un producto
- [2 · (−5)]² = 2² · (−5)²
Solución: Por la propiedad (a · b)ᵐ = aᵐ · bᵐ. Lado izquierdo: 2 · (−5) = −10, luego (−10)² = 100. Lado derecho: 2² = 4; (−5)² = 25; 4 · 25 = 100. Ambos lados dan 100. Verificación: √100 = 10 = |−10|.
Respuesta: [2 · (−5)]² = 2² · (−5)² = 100
Ejemplo — Potencia de un cociente
- (−6 ÷ 3)² = (−6)² ÷ 3²
Solución: Por la propiedad (a ÷ b)ᵐ = aᵐ ÷ bᵐ. Lado izquierdo: −6 ÷ 3 = −2, luego (−2)² = 4. Lado derecho: (−6)² = 36; 3² = 9; 36 ÷ 9 = 4. Ambos lados dan 4. Verificación: 4 · 9 = 36 = (−6)².
Respuesta: (−6 ÷ 3)² = (−6)² ÷ 3² = 4
Ejemplo — Exponente 0
- 5⁰ = 1
Solución: Por la propiedad a⁰ = 1 para todo a ≠ 0, se tiene 5⁰ = 1. Verificación por cociente: 5¹ ÷ 5¹ = 5¹⁻¹ = 5⁰ = 1.
Respuesta: 1
Ejemplo — Exponente 1
- (−3)¹ = −3
Solución: Por la propiedad a¹ = a, se tiene (−3)¹ = −3. Verificación: (−3) ÷ (−3)⁰ = (−3) ÷ 1 = −3.
Respuesta: −3
Truco: Potencias con exponentes grandes
Para resolver potencias de bases negativas con exponentes muy grandes, se analiza la paridad del exponente:
- Exponente par → resultado positivo
- Exponente impar → resultado negativo
Ejemplo — exponente grande
- (−3)⁴⁰⁵ → determinar el signo del resultado.
Solución: Se estudia la paridad del exponente. Como 405 = 2 · 202 + 1, el exponente 405 es impar. Una base negativa con exponente impar produce un resultado negativo (el mismo signo que (−3)¹ = −3). El valor exacto es −(3⁴⁰⁵), un número entero negativo muy grande (de 194 dígitos) que no se calcula en este nivel: lo importante es determinar el signo, no el valor.
Respuesta: resultado negativo (el signo es −; el valor exacto es −(3⁴⁰⁵), que no se evalúa en este nivel)