📐 Opuesto y valor absoluto

Lección 4 | Editorial Santillana | 7.° año

Documento de materia (teoría). Cada definición y regla va acompañada de sus ejemplos ya resueltos, con el procedimiento paso a paso y la respuesta final en negrita. La práctica activa (ejercicios para resolver) está en el archivo aparte practica_numeros_enteros.md.

1. Opuesto de un número entero

Indicador de aprendizaje

• Determina el opuesto de un número entero.

Definición

Dos números enteros son opuestos si, al ubicarlos en la recta numérica, se encuentran a la misma distancia de cero, pero en sentidos contrarios: uno a la izquierda y el otro a la derecha.

Si n es un número entero distinto de 0, su opuesto se representa así: −n.

Ejemplo: opuesto de 4

Enunciado: ¿Cuál es el opuesto de 4?

Solución: El opuesto de un entero n (con n ≠ 0) es −n. Para n = 4, su opuesto es −4. Ambos números se encuentran a 4 unidades de distancia del cero en la recta numérica, pero en sentidos contrarios (4 a la derecha, −4 a la izquierda).

Respuesta: −4

Representación en la recta numérica

−4 y 4 están a la misma distancia (4 unidades) del 0, en sentidos opuestos: son números opuestos.

Regla del signo de opuesto (negaciones anidadas)

Cuando se aplican varios signos negativos consecutivos, se resuelven de adentro hacia afuera, recordando que (menos)(menos) = más.

Negaciones anidadas — Fila 1

Enunciado: −(−5)

Solución: Hay 2 negaciones (número par de signos). (menos)(menos) = más, así que −(−5) = +5.

Respuesta: 5

Negaciones anidadas — Fila 2

Enunciado: −(−(−15))

Solución: Hay 3 negaciones (número impar). Se resuelve de adentro hacia afuera: −(−(−15)) = −(+15) = −15.

Respuesta: −15

Negaciones anidadas — Fila 3

Enunciado: −(−(−(−48)))

Solución: Hay 4 negaciones (número par). De adentro hacia afuera: −(−(−(−48))) = −(−(+48)) = −(−48) = +48.

Respuesta: 48

Negaciones anidadas — Fila 4

Enunciado: −(−(−(−(−21))))

Solución: Hay 5 negaciones (número impar). De adentro hacia afuera: −(−(−(−(−21)))) = −(−(−(+21))) = −(−(−21)) = −(+21) = −21.

Respuesta: −21

Tabla resumen de negaciones anidadas

Regla general: Un número par de negaciones da resultado positivo; un número impar de negaciones da resultado negativo.

Nota importante

El opuesto de un número no es necesariamente negativo. Por ejemplo, el opuesto de −17 es el número positivo 17.

Enunciado: −(−17) = ?

Solución: El opuesto de −17 se escribe −(−17). Son 2 negaciones (par), así que el resultado es positivo: −(−17) = +17. Esto confirma que el opuesto de un número negativo es positivo.

Respuesta: +17

2. Valor absoluto de un número entero

Indicador de aprendizaje

• Determina el valor absoluto de un número entero.

Definición

Si a es un número entero, el valor absoluto de a se simboliza como |a| y corresponde a la distancia que hay entre a y el 0 en la recta numérica.

Por tratarse de una distancia, el valor absoluto de cualquier número entero distinto de 0 es siempre positivo.

Ejemplos

Valor absoluto — Fila 1

Enunciado: |−10| ("El valor absoluto de −10")

Solución: Como −10 < 0, se aplica |n| = −n: |−10| = −(−10) = 10. Es la distancia (10 unidades) que hay entre −10 y el 0.

Respuesta: 10

Valor absoluto — Fila 2

Enunciado: |4| ("El valor absoluto de 4")

Solución: Como 4 > 0, se aplica |n| = n: |4| = 4. Es la distancia (4 unidades) que hay entre 4 y el 0.

Respuesta: 4

Valor absoluto — Fila 3

Enunciado: |0| ("El valor absoluto de 0")

Solución: La distancia del 0 a sí mismo es 0, por lo que |0| = 0. Es el único entero cuyo valor absoluto es cero.

Respuesta: 0

Tabla resumen de valor absoluto

Casos especiales

• Valor absoluto de 0: |0| = 0 (el único entero cuyo valor absoluto es cero).
• Valor absoluto de número positivo: |n| = n (para todo n > 0).
• Valor absoluto de número negativo: |n| = −n (para todo n < 0), lo que da un resultado positivo.
  • Ejemplo inmediato: |−7| = −(−7) = 7. Aunque la regla use −n, al ser n negativo el resultado siempre es positivo.

Relación entre valor absoluto y opuesto

Para cualquier número entero n, el valor absoluto de n y el valor absoluto de su opuesto son siempre iguales:

|n| = |−n|

Ejemplo |n| = |−n| — Parte 1

Enunciado: |44|

Solución: Como 44 > 0, se aplica |n| = n: |44| = 44.

Respuesta: 44

Ejemplo |n| = |−n| — Parte 2

Enunciado: |−44|

Solución: Como −44 < 0, se aplica |n| = −n: |−44| = −(−44) = 44. Coincide con |44| = 44, lo que ilustra la propiedad |n| = |−n|.

Respuesta: 44

Conclusión del ejemplo: |44| = |−44| = 44.

3. Conceptos complementarios

Antecesor y sucesor de un número entero

• El antecesor de un número entero es el que se ubica inmediatamente a su izquierda en la recta numérica (es decir, el número menos uno: n − 1).
• El sucesor de un número entero es el que se ubica inmediatamente a su derecha en la recta numérica (es decir, el número más uno: n + 1).

Antecesor y sucesor — Fila 1

Enunciado: Antecesor y sucesor de −13.

Solución: Antecesor = n − 1 = −13 − 1 = −14. Sucesor = n + 1 = −13 + 1 = −12. Comprobación del orden: −14 < −13 < −12.

Respuesta: Antecesor −14 | Sucesor −12

Antecesor y sucesor — Fila 2

Enunciado: Antecesor y sucesor de −29.

Solución: Antecesor = −29 − 1 = −30. Sucesor = −29 + 1 = −28. Comprobación del orden: −30 < −29 < −28.

Respuesta: Antecesor −30 | Sucesor −28

Antecesor y sucesor — Fila 3

Enunciado: Antecesor y sucesor de 0.

Solución: Antecesor = 0 − 1 = −1. Sucesor = 0 + 1 = 1. Comprobación del orden: −1 < 0 < 1.

Respuesta: Antecesor −1 | Sucesor 1

Antecesor y sucesor — Fila 4

Enunciado: Antecesor y sucesor de 25.

Solución: Antecesor = 25 − 1 = 24. Sucesor = 25 + 1 = 26. Comprobación del orden: 24 < 25 < 26.

Respuesta: Antecesor 24 | Sucesor 26

Tabla resumen de antecesor y sucesor

Relación de orden transitiva

Si a, b y c son números enteros:

• Si a > b y b > c, entonces a > c.
  • Ejemplo: como 5 > 3 y 3 > 1, entonces 5 > 1.
• Si a < b y b < c, entonces a < c.
  • Ejemplo: como −5 < −3 y −3 < −1, entonces −5 < −1.

Conjunto de los números enteros

Los números enteros corresponden a la unión de:

1. Los números naturales (0, 1, 2, 3, …)
2. Sus opuestos (−1, −2, −3, …)
3. El cero (0)

Nota: Todo número natural es un entero, pero no todo entero es natural (por ejemplo, −3 es entero pero no natural). El número 0 no es positivo ni negativo.

4. Resumen de propiedades clave

Cada propiedad se acompaña de su ejemplo resuelto.

Propiedad 1 — Opuesto

Enunciado: El opuesto de n es −n. ¿Cuál es el opuesto de 7?

Solución: Opuesto de n = −n. Para n = 7, el opuesto es −7. Los números 7 y −7 equidistan del 0.

Respuesta: −7

Propiedad 2 — Doble opuesto

Enunciado: −(−n) = n. Calcular −(−5).

Solución: Son 2 negaciones (par) → positivo: −(−5) = 5.

Respuesta: 5

Propiedad 3 — Valor absoluto positivo

Enunciado: |n| ≥ 0 siempre. Calcular |−8|.

Solución: Como −8 < 0, se aplica |n| = −n: |−8| = −(−8) = 8. Confirma que |n| ≥ 0 para todo entero.

Respuesta: 8

Propiedad 4 — Absoluto y opuesto

Enunciado: |n| = |−n|. Calcular |3| y |−3|.

Solución: |3| = 3 (porque 3 > 0). |−3| = −(−3) = 3 (porque −3 < 0). Ambos coinciden, lo que ilustra |n| = |−n|.

Respuesta: |3| = 3 y |−3| = 3 (es decir, |3| = |−3| = 3)

Propiedad 5 — Absoluto de negativo

Enunciado: Si n < 0, entonces |n| = −n. Calcular |−6|.

Solución: Como n = −6 < 0, se aplica |n| = −n: |−6| = −(−6) = 6. El resultado es positivo.

Respuesta: 6

Propiedad 6 — Aplicación: temperatura bajo cero

Enunciado: Expresar como número entero "6 °C bajo cero".

Solución: "Bajo cero" indica sentido negativo en la recta numérica, por lo que 6 °C bajo cero se escribe como −6 °C (el termómetro marca −6).

Respuesta: −6 °C

Tabla resumen de propiedades clave