📐 Multiplicación y división de enteros

Lección 6 · Matemáticas Santillana · Multiplicación y división de números enteros

Indicadores de aprendizaje

• Resuelve problemas aplicando multiplicaciones de números enteros.
• Simplifica cálculos mediante el uso de las propiedades de la multiplicación.
• Resuelve problemas aplicando divisiones de números enteros.

Parte I · Multiplicación de números enteros

1. Concepto y términos

Si a y b son números enteros, la expresión a · b se llama «multiplicación».

Los términos de la multiplicación son:

• Factores: los números que se multiplican.
• Producto: el resultado de la multiplicación.

Ejemplo

Los números que se multiplican (2 y 5) son los factores; el resultado (10) es el producto.

Solución

Los factores son 2 y 5; el producto es el resultado de multiplicarlos. Ambos factores son positivos, así que (+) · (+) = (+): 2 · 5 = 10. Verificación inversa: 10 ÷ 2 = 5.

Respuesta

2 · 5 = 10 (factores: 2 y 5; producto: 10).

2. Ley de los signos

Para calcular el producto de dos números enteros se debe considerar la ley de los signos. Esta misma ley se aplica también en la división (ver Parte II).

Factores con signos iguales → Producto POSITIVO

Solución

• 5 · 4: signos iguales (ambos positivos) → producto positivo. 5 · 4 = 20. Verificación: 20 ÷ 5 = 4.
• (−5) · (−4): signos iguales (ambos negativos) → producto positivo. |−5| · |−4| = 5 · 4 = 20. Verificación: 20 ÷ (−5) = −4.

Factores con signos diferentes → Producto NEGATIVO

Solución

• 5 · (−4): signos diferentes → producto negativo. 5 · 4 = 20, con signo negativo → −20. Verificación: −20 ÷ 5 = −4.
• (−5) · 4: signos diferentes → producto negativo. 5 · 4 = 20, con signo negativo → −20. Verificación: −20 ÷ (−5) = 4.

Resumen visual de la ley de signos

• + · + = +
• − · − = +
• + · − = −
• − · + = −

Regla práctica: Signos iguales dan positivo. Signos diferentes dan negativo.

3. Propiedades de la multiplicación

Si a, b y c son números enteros, se cumplen las siguientes propiedades:

3.1 Propiedad conmutativa

El orden de los factores no altera el producto.

Simbolización: a · b = b · a

Ejemplo: 3 · (−5) = (−5) · 3 = −15

Solución:

• 3 · (−5): signos diferentes → negativo. 3 · 5 = 15 → −15. Verificación: −15 ÷ 3 = −5.
• (−5) · 3: signos diferentes → negativo. 5 · 3 = 15 → −15. Verificación: −15 ÷ (−5) = 3.
• Ambos órdenes dan el mismo resultado, lo que confirma la conmutatividad.

Respuesta: 3 · (−5) = (−5) · 3 = −15.

3.2 Propiedad asociativa

El orden en que se asocien los factores no altera el producto.

Simbolización: (a · b) · c = a · (b · c)

Ejemplo:

Solución:

• Lado izquierdo: primero 2 · (−3) = −6 (signos diferentes → negativo). Luego (−6) · (−4): signos iguales → positivo, 6 · 4 = 24 → 24.
• Lado derecho: primero (−3) · (−4) = 12 (signos iguales → positivo). Luego 2 · 12 = 24.
• Ambos lados dan 24, lo que confirma la propiedad asociativa.

Respuesta: [2 · (−3)] · (−4) = 2 · [(−3) · (−4)] = 24.

3.3 Elemento neutro

Todo número multiplicado por 1 da como resultado el mismo número.

Simbolización: a · 1 = a y 1 · a = a

Ejemplos:

• 5 · 1 = 5
• 1 · (−8) = −8

Solución:

• 5 · 1: el 1 no cambia el valor → 5. Verificación: 5 ÷ 1 = 5.
• 1 · (−8): el 1 no cambia el valor ni el signo → −8. Verificación: −8 ÷ 1 = −8.

Respuesta: 5 · 1 = 5 y 1 · (−8) = −8.

3.4 Elemento absorbente o nulo

Todo número multiplicado por 0 da como resultado 0.

Simbolización: a · 0 = 0 y 0 · a = 0

Ejemplos:

• 5 · 0 = 0
• 0 · (−4) = 0

Solución:

• 5 · 0: todo entero multiplicado por 0 da 0 → 0.
• 0 · (−4): el 0 anula cualquier factor; el signo de (−4) no altera el resultado → 0.

Respuesta: 5 · 0 = 0 y 0 · (−4) = 0.

3.5 Propiedad distributiva

El producto de un número por una suma o sustracción equivale a la suma o sustracción de los productos del número con cada sumando.

Simbolización: a · (b ± c) = a · b ± a · c

Ejemplo:

Solución:

• Lado izquierdo: primero el paréntesis, −5 + 8 = 3 (suma de distinto signo: 8 − 5 = 3, con signo del mayor en valor absoluto). Luego −3 · 3 = −9 (signos diferentes → negativo).
• Lado derecho: (−3) · (−5) = 15 (signos iguales → positivo) y (−3) · 8 = −24 (signos diferentes → negativo). Suma: 15 + (−24) = −9 (distinto signo: 24 − 15 = 9, con signo negativo).
• Ambos lados dan −9, lo que confirma la propiedad distributiva.

Respuesta: −3 · (−5 + 8) = 15 + (−24) = −9.

Tabla resumen de propiedades

4. Multiplicaciones con más de dos factores

Para resolver multiplicaciones con más de dos factores se aplica la propiedad asociativa, agrupando los factores de dos en dos, de izquierda a derecha:

Solución:

• −12 · (−5) · (−3): primero (−12) · (−5) = 60 (signos iguales → positivo); luego 60 · (−3) = −180 (signos diferentes → negativo). Hay 3 factores negativos (impar) → resultado negativo. Verificación: −180 ÷ (−3) = 60.
• −8 · 9 · 10: primero (−8) · 9 = −72 (signos diferentes → negativo); luego (−72) · 10 = −720. Hay 1 factor negativo (impar) → resultado negativo. Verificación: −720 ÷ 10 = −72.
• 7 · (−6) · (−5) · 8: agrupando de izquierda a derecha, 7 · (−6) = −42; (−42) · (−5) = 210 (signos iguales → positivo); 210 · 8 = 1 680. Hay 2 factores negativos (par) → resultado positivo. Verificación: 1 680 ÷ 8 = 210; 210 ÷ (−5) = −42; −42 ÷ (−6) = 7.

Respuesta: −12 · (−5) · (−3) = −180; −8 · 9 · 10 = −720; 7 · (−6) · (−5) · 8 = 1 680.

Consejo: Para saber el signo del resultado antes de calcular, cuenta cuántos factores negativos hay. Si son pares, el resultado es positivo. Si son impares, el resultado es negativo.

Parte II · División de números enteros

5. Términos de la división

En toda división existen cuatro elementos. En una división entera, el cociente es un número entero y lo que no alcanza a repartirse queda como residuo.

Ejemplo resuelto: identificar el cociente y el residuo de 13 ÷ 2

Solución:

• En la división entera, se busca el mayor número entero que, multiplicado por el divisor, no supere al dividendo. Como 2 · 6 = 12 ≤ 13 y 2 · 7 = 14 > 13, el cociente entero es 6 (no el cociente exacto 6,5).
• El residuo es lo que sobra: residuo = 13 − (2 · 6) = 13 − 12 = 1. Se cumple que 0 ≤ 1 < 2, así que es un residuo válido.
• Verificación inversa: 2 · 6 + 1 = 12 + 1 = 13. ✓

Respuesta: cociente = 6 y residuo = 1.

6. Ley de los signos en la división

En la división de números enteros se aplican las mismas leyes de signos que en la multiplicación (ver sección 2).

Signos iguales → resultado positivo

Ejemplos:

• 8 ÷ 4 = 2
• (−8) ÷ (−4) = 2

Solución:

• 8 ÷ 4: signos iguales (+ ÷ +) → resultado positivo; 8 ÷ 4 = 2. Verificación: 4 · 2 = 8. ✓
• (−8) ÷ (−4): signos iguales (− ÷ −) → resultado positivo; 8 ÷ 4 = 2, con signo positivo da +2. Verificación: (−4) · 2 = −8. ✓

Respuesta: 8 ÷ 4 = 2 · (−8) ÷ (−4) = 2

Signos diferentes → resultado negativo

Ejemplos:

• 8 ÷ (−4) = −2
• (−8) ÷ 4 = −2

Solución:

• 8 ÷ (−4): signos diferentes (+ ÷ −) → resultado negativo; 8 ÷ 4 = 2, con signo negativo da −2. Verificación: (−4) · (−2) = 8. ✓
• (−8) ÷ 4: signos diferentes (− ÷ +) → resultado negativo; 8 ÷ 4 = 2, con signo negativo da −2. Verificación: 4 · (−2) = −8. ✓

Respuesta: 8 ÷ (−4) = −2 · (−8) ÷ 4 = −2

Resumen visual de la ley de signos (división)

• + ÷ + = +
• − ÷ − = +
• + ÷ − = −
• − ÷ + = −

Regla fácil: Si los signos son iguales, el resultado es positivo. Si son diferentes, el resultado es negativo.

7. Reglas especiales

División de cero entre un número

Si el dividendo es 0 y el divisor es cualquier número entero distinto de cero, el cociente siempre es 0.

Ejemplo: 0 ÷ 5 = 0

Solución:

• El dividendo es 0 y el divisor 5 ≠ 0, así que 0 ÷ m = 0 para cualquier m ≠ 0. Verificación: 5 · 0 = 0. ✓

Respuesta: 0 ÷ 5 = 0

División entre cero

La división entre 0 no está determinada, porque no existe ningún número que multiplicado por 0 dé otro número distinto de 0.

8. Propiedades de la división de enteros

¿Es asociativa?

La división de números enteros NO es asociativa.

Esto significa que cambiar el agrupamiento de los números cambia el resultado:

Comprobación con p = 80, q = −8, n = −2:

• (80 ÷ (−8)) ÷ (−2) = (−10) ÷ (−2) = 5
• 80 ÷ ((−8) ÷ (−2)) = 80 ÷ 4 = 20
• 5 ≠ 20 → No es asociativa

Solución:

• Primer agrupamiento (80 ÷ (−8)) ÷ (−2):
  • Paso 1: 80 ÷ (−8), signos diferentes → 80 ÷ 8 = 10, negativo: −10.
  • Paso 2: (−10) ÷ (−2), signos iguales → 10 ÷ 2 = 5, positivo: +5.
  • Verificación: (−2) · 5 = −10 y (−8) · (−10) = 80. ✓
• Segundo agrupamiento 80 ÷ ((−8) ÷ (−2)):
  • Paso 1: (−8) ÷ (−2), signos iguales → 8 ÷ 2 = 4, positivo: +4.
  • Paso 2: 80 ÷ 4 = 20. Verificación: 4 · 20 = 80. ✓
• Como 5 ≠ 20, los mismos números con distinto agrupamiento dan resultados distintos.

Respuesta: 5 ≠ 20 → la división NO es asociativa.

¿Es conmutativa?

La división de números enteros NO es conmutativa.

Esto significa que el orden de los términos afecta el resultado:

Comprobación con p = 80, q = −8:

• 80 ÷ (−8) = −10
• (−8) ÷ 80 = −0,1
• −10 ≠ −0,1 → No es conmutativa

Solución:

• 80 ÷ (−8): signos diferentes (+ ÷ −) → negativo; 80 ÷ 8 = 10, da −10. Verificación: (−8) · (−10) = 80. ✓
• (−8) ÷ 80: signos diferentes (− ÷ +) → negativo; 8 ÷ 80 = 1/10 = 0,1, da −0,1. Verificación: 80 · (−0,1) = −8. ✓
• Como −10 ≠ −0,1, cambiar el orden de los términos cambia el resultado.

Respuesta: −10 ≠ −0,1 → la división NO es conmutativa.

9. Cálculo de promedios con números enteros

Para calcular un promedio (temperatura, puntos, etc.) con números enteros:

• Sumar todos los valores (respetando los signos).
• Dividir la suma entre la cantidad de datos.

10. Problema resuelto

Enunciado: Durante 6 días de abril se registraron las siguientes temperaturas medias en una ciudad: −7 °C, −8 °C, 5 °C, −1 °C, −3 °C y 2 °C. ¿Cuál fue la temperatura promedio de esos días?

Datos:

• Temperaturas registradas: −7, −8, 5, −1, −3 y 2
• Cantidad de días: 6

Planteamiento y solución:

Solución:

• Suma de los valores negativos: (−7) + (−8) + (−1) + (−3) = −19.
• Suma de los valores positivos: 5 + 2 = 7.
• Total: −19 + 7 = −12 (verificación progresiva: −7 − 8 = −15; −15 + 5 = −10; −10 − 1 = −11; −11 − 3 = −14; −14 + 2 = −12). ✓
• Promedio = suma ÷ cantidad de datos = (−12) ÷ 6. Signos diferentes → negativo; 12 ÷ 6 = 2, da −2. Verificación: 6 · (−2) = −12. ✓

R: La temperatura promedio de esos 6 días fue de −2 °C.

Respuesta: −2 °C

Fuente: Santillana · Matemáticas 7° · pp. 73-79 · Multiplicación y división de números enteros.