📐 Adición y sustracción de enteros

Contexto de activación

Durante un torneo de fútbol, los equipos competidores acumulan puntos según la cantidad de juegos ganados o empatados. Según ese puntaje se define el orden que ocupa cada equipo en la tabla de posiciones.

Sin embargo, cuando dos equipos poseen la misma cantidad de puntos, se coloca de primero aquel que posea el mayor Gol Diferencia (GD).

Fórmula del Gol Diferencia:
GD = Goles a Favor (GF) − Goles en Contra (GC)

Reto de activación: completar la tabla de Gol Diferencia

Calcule el Gol Diferencia (GD) de cada equipo y determine cuál ocupa el primer lugar, sabiendo que los tres están empatados con 15 puntos.

Solución (Equipo A): GD = GF − GC = 4 − 6 = 4 + (−6). Los términos tienen signos diferentes, así que se restan los valores absolutos, |−6| − |4| = 6 − 4 = 2, y se conserva el signo del término de mayor valor absoluto (6, negativo) → −2.
Verificación inversa: −2 + 6 = 4 = GF ✓
Respuesta: GD del Equipo A = −2

Solución (Equipo B): GD = GF − GC = 7 − 7 = 0. Los valores absolutos son iguales y opuestos, por lo que el resultado es nulo.
Verificación inversa: 0 + 7 = 7 = GF ✓
Respuesta: GD del Equipo B = 0

Solución (Equipo C): GD = GF − GC = 8 − 5 = 3. Resta directa de positivos (el minuendo es mayor que el sustraendo) → resultado positivo.
Verificación inversa: 3 + 5 = 8 = GF ✓
Respuesta: GD del Equipo C = 3

Conclusión: Se comparan los Gol Diferencia en la recta numérica: −2 < 0 < 3. El mayor es 3, que corresponde al Equipo C; por la regla de desempate (mayor GD) ocupa el primer lugar.
Respuesta: El Equipo C ocupa el primer lugar por tener el mayor GD (3).

Adición de números enteros

Regla 1: Adición de dos números enteros de igual signo

• Se suman sus valores absolutos.
• Se coloca el mismo signo de los sumandos.

Ejemplo:

Solución: Ambos sumandos son negativos (igual signo): se suman los valores absolutos, |−8| + |−5| = 8 + 5 = 13, y se conserva el signo común (negativo).
Verificación: |−13| = 13 = 8 + 5 ✓
Respuesta: (−8) + (−5) = −13

Regla 2: Adición de dos números enteros de diferente signo

• Se restan sus valores absolutos.
• Al resultado se le coloca el signo del sumando con mayor valor absoluto.

Ejemplo:

Solución: Los sumandos tienen signos diferentes: se restan los valores absolutos (mayor menos menor), |10| − |−7| = 10 − 7 = 3, y se coloca el signo del sumando de mayor valor absoluto (10, positivo) → +3.
Verificación inversa: 3 + (−10) = −7 ✓
Respuesta: (−7) + 10 = 3

Propiedades de la adición de números enteros

Sustracción de números enteros

Concepto clave

Para restar dos números enteros, se suma el minuendo con el opuesto del sustraendo.

Fórmula: a − b = a + (−b)

Donde a es el minuendo y b es el sustraendo. Así, toda sustracción se puede convertir en una adición con el opuesto del sustraendo.

Propiedades de la sustracción

La sustracción de números enteros NO es conmutativa ni asociativa:

• No conmutativa: a − b ≠ b − a
• No asociativa: a − (b − c) ≠ (a − b) − c

Sustracción en la recta numérica

Para resolver una sustracción en la recta numérica:

• Se ubica el minuendo en la recta.
• Se retrocede hacia la izquierda según lo que indique el sustraendo.
• El número al que se llega es el resultado.

Ejemplo: 4 − 6

Desde el minuendo 4 se retroceden 6 lugares hacia la izquierda hasta −2: 4 − 6 = −2.

Solución: Se ubica el minuendo 4 en la recta y se retroceden 6 unidades hacia la izquierda: 4 → 3 → 2 → 1 → 0 → −1 → −2. Equivale a 4 + (−6); signos diferentes → 6 − 4 = 2 con signo negativo.
Respuesta: 4 − 6 = −2

Ejemplo 1 — Convertir una sustracción en adición

Convertir cada sustracción en una adición con el opuesto del sustraendo y resolver.

a) 7 − 8

Solución:

• Aplicar la regla: 7 − 8 = 7 + (−8).
• Signos distintos → restar los valores absolutos: 8 − 7 = 1.
• Conservar el signo del de mayor valor absoluto (−8) → −1.
• Verificación: −1 + 8 = 7 ✓

Respuesta: −1

b) −15 − 20

Solución:

• Aplicar la regla: −15 − 20 = −15 + (−20).
• Mismo signo (negativo) → sumar los valores absolutos: 15 + 20 = 35.
• Conservar el signo negativo → −35.
• Verificación: −35 + 20 = −15 ✓

Respuesta: −35

Ejemplo 2 — Sustracción con más de dos números

Cuando hay más de dos números, se resuelve de izquierda a derecha, convirtiendo cada sustracción en adición.

Solución:

• Paso 1 (los dos primeros): 25 − 18 = 25 + (−18) = 7.
• Paso 2 (al resultado se le resta el tercer número): 7 − 16 = 7 + (−16).
• Signos distintos: 16 − 7 = 9, signo negativo → −9.
• Verificación: −9 + 16 = 7 y 7 + 18 = 25 ✓

Respuesta: −9

Ejemplo 3 — Cómo usar la regla a − b = a + (−b)

Completar la adición equivalente y el resultado de cada sustracción.

Solución:

• 7 − 9: opuesto de 9 es −9 → 7 + (−9). Signos distintos: 9 − 7 = 2, signo del mayor valor absoluto (−9) → −2. Verificación: −2 + 9 = 7 ✓
• 22 − (−8): restar un negativo equivale a sumar su opuesto, a − (−b) = a + b → 22 + 8 = 30. Verificación: 30 − 8 = 22 ✓
• −11 − (−18): a − (−b) = a + b → −11 + 18. Signos distintos: 18 − 11 = 7, signo positivo → 7. Verificación: 7 − 18 = −11 ✓
• −36 − 17: opuesto de 17 es −17 → −36 + (−17). Mismo signo (negativo): 36 + 17 = 53, signo negativo → −53. Verificación: −53 + 17 = −36 ✓

Ejemplo 4 — Tabla de sustracción

La fórmula de cada celda es:

celda = minuendo − sustraendo = (primera fila) − (primera columna)

Completar la tabla. La primera fila son los minuendos; la primera columna son los sustraendos.

Solución (celda = minuendo − sustraendo):

• Sustraendo −1 (se suma 1 a cada minuendo, pues a − (−1) = a + 1):
  • −1 − (−1) = −1 + 1 = 0
  • −3 − (−1) = −3 + 1 = −2
  • −5 − (−1) = −5 + 1 = −4
  • 6 − (−1) = 6 + 1 = 7
  • −10 − (−1) = −10 + 1 = −9
  • −20 − (−1) = −20 + 1 = −19
• Sustraendo 5 (se resta 5 a cada minuendo, a − 5 = a + (−5)):
  • −1 − 5 = −6
  • −3 − 5 = −8
  • −5 − 5 = −10
  • 6 − 5 = 1
  • −10 − 5 = −15
  • −20 − 5 = −25
• Sustraendo −20 (se suma 20 a cada minuendo, a − (−20) = a + 20):
  • −1 − (−20) = −1 + 20 = 19
  • −3 − (−20) = −3 + 20 = 17
  • −5 − (−20) = −5 + 20 = 15
  • 6 − (−20) = 6 + 20 = 26
  • −10 − (−20) = −10 + 20 = 10
  • −20 − (−20) = −20 + 20 = 0
• Sustraendo 100 (se resta 100 a cada minuendo, a − 100 = a + (−100)):
  • −1 − 100 = −101
  • −3 − 100 = −103
  • −5 − 100 = −105
  • 6 − 100 = −94
  • −10 − 100 = −110
  • −20 − 100 = −120

Combinación de adiciones y sustracciones

Concepto clave

Para resolver una combinación de adiciones y sustracciones:

• Convertir todas las sustracciones en adiciones (usando el opuesto).
• Resolver de izquierda a derecha.

Regla: Si hay paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { } o barras de valor absoluto | |, se resuelven primero las operaciones que están dentro (de adentro hacia afuera).

Ejemplo 5 — Combinación de adiciones y sustracciones

a) Sin paréntesis: −25 + 18 − 32 − (−5)

Solución:

• Convertir las sustracciones en adiciones: −25 + 18 + (−32) + 5.
• De izquierda a derecha:
  • Paso 1: −25 + 18 = −7
  • Paso 2: −7 + (−32) = −39
  • Paso 3: −39 + 5 = −34
• Verificación directa: −25 + 18 − 32 + 5 = −34 ✓

Respuesta: −34

b) Con valor absoluto: −(51 − 4) + |12 − 20|

Solución:

• De adentro hacia afuera.
• Paréntesis: 51 − 4 = 47, con el signo menos delante → −47.
• Valor absoluto: 12 − 20 = −8, y |−8| = 8.
• Sumar: −47 + 8 = −39.
• Verificación: −39 − 8 = −47 ✓

Respuesta: −39

Palabras clave en problemas

Identificar el tipo de operación según el vocabulario del enunciado:

Ejemplo 6 — Problema modelo (temperatura)

Enunciado: En una ciudad, la temperatura al amanecer fue de 4 °C bajo cero. Al mediodía había incrementado 5 °C y bajó nuevamente 3 °C al atardecer. ¿Cuál fue la temperatura al atardecer?

Datos:

• Temperatura inicial: −4 °C
• Incremento: +5 °C
• Disminución: −3 °C

Solución:

• Planteamiento: (−4) + 5 − 3.
• Paso 1: −4 + 5 = 1
• Paso 2: 1 − 3 = −2
• Verificación: −2 + 3 = 1 y 1 − 5 = −4 ✓

Respuesta: La temperatura al atardecer fue de −2 °C.

Resumen de reglas

Vocabulario clave

Números negativos en contexto real

Los números negativos representan situaciones como:

• Años antes de Cristo (a.C.)
• Distancias bajo el nivel del mar
• Pérdidas económicas
• Temperaturas bajo cero

Problema resuelto

El matemático griego Tales de Mileto nació en el año 624 a.C. y vivió 78 años. ¿En qué año murió?

Datos:

• Año de nacimiento: −624 (negativo por ser a.C.)
• Años que vivió: 78

Planteamiento:

Solución: El año a.C. se modela como negativo, así que el nacimiento es −624 y la operación es −624 + 78. Los términos tienen signos diferentes: se restan los valores absolutos, |−624| − |78| = 624 − 78 = 546, y se conserva el signo del término de mayor valor absoluto (624, negativo).

Como el resultado es negativo, corresponde al año 546 a.C.
Verificación inversa: −546 − (−624) = −546 + 624 = 78 años vividos ✓

Respuesta: −624 + 78 = −546 → murió en el año 546 a.C.

R/ El matemático griego Tales de Mileto murió en el año 546 a.C.

Consejo MateTrucos: Antes de plantear la operación para resolver un problema con números enteros, identifica las situaciones que corresponden a números negativos; por ejemplo, años antes de Cristo, distancias bajo el mar, pérdidas, entre otros.

Cuadrado mágico (definición)

Un cuadrado mágico es una distribución de números en una tabla de n × n filas, donde la suma de cada fila, columna y diagonal es la misma (suma mágica).

Suma mágica para un conjunto de n² números consecutivos:

Suma mágica = (suma total de todos los números) ÷ n

Donde n es el número de filas (o columnas) del cuadrado.

Pirámide numérica (definición)

En una pirámide numérica, cada número es la suma de los dos números que están debajo de él. Se trabaja de abajo hacia arriba sumando pares adyacentes.

A partir de la fila base (datos de entrada) se obtiene el resto:

Solución (de abajo hacia arriba, fila base = −45, 10, −20, 35):

• Fila 3 (suma de pares de la base):
  • −45 + 10 = −35
  • 10 + (−20) = −10
  • −20 + 35 = 15
• Fila 2 (suma de pares de la fila 3):
  • (−35) + (−10) = −45
  • (−10) + 15 = 5
• Cima (fila 1) (suma de la fila 2):
  • (−45) + 5 = −40

Respuesta (cima de la pirámide): −40

Indicadores de logro

• Resuelve problemas aplicando sumas de números enteros.
• Aplica las propiedades de la adición de números enteros.